\heading{Mehrstimmiger Notensatz}
Abschlie\3end soll auf die Problematik mehrstimmiger Notation im
automatischen Notensatz eingegangen werden.
\subheading{Regeln f"ur die mehrstimmige Notation}
Die Regeln hierzu sind im wesentlichen schon in den vorangegangenen
Kapiteln aufgef"uhrt worden.
Neben einigen Notationsvereinbarungen (siehe Kapitel \adchap{-3} N4d und
N9b und Kapitel \adchap{-2} P2), gilt als grunds"atzliche Regel,
da\3 alle T"one, die zur gleichen Zeit einsetzen, untereinander zu
notieren sind. Einige Ausnahmen ergeben sich bei mehrstimmiger Notation
in einem Zeilensystem. In  diesem Fall kann es vorkommen, da\3 zur
Verdeutlichung der Stimmf"uhrung einige Noten nach links oder rechts
ausweichen m"ussen, wobei in einem solchen Fall der Ausschlu\3 vom
vorgegebenen Schema abweicht.
\Beispiel
{\hsize5cm
\parindent2\iindent\advance\hsize2\iindent
\beginsong\vio\C\two{\group{\\{\hskip\seminhh
\a1}\\{\advance\sk-\seminhh\a5}}{\\{1}\\{5}}\ubeam12\go}{%
\group{\\{\a3}\\{\a5}}{\\{3}\\{5}}\lbeam12\go} {\rm oder}\two{\group{%
\\{\a5}\\{\a5}\\{\a5}\\{\a5}}{\\{5}\\{5}\\{5}\\{5}}\ubeam14\go}{%
\hskip1.5\nhw\h5}\|\endsong}
\vskip-1cm
\endBeispiel
Da die Noten, abgesehen von den obigen Ausnahmen, untereinander notiert
werden m"ussen, mu\3 der gleiche zus"atzliche Raum, der in einer Stimme
f"ur Hunks ben"otigt wird (z.B. Versetzungszeichen), in den anderen
Stimmen gleicherma\3en ber"ucksichtigt werden.

F"ur den korrekten Ausschlu\3 mehrstimmiger Notenliteratur reichen die
in Kapitel~\adchap{-4} angegebenen Aus\-schlu\3schemata
im allgemeinen nicht aus, da diese gerade so gew"ahlt sind, da\3 keine
Linearit"at bzgl. der Tondauer besteht.

\Beispiel Der Raum, den eine Viertel Note einnimmt, ist im allgemeinen
kleiner als der Raum, den zwei Achtel Noten einnehmen. Sollen diese
Noten rhythmisch korrekt untereinander notiert werden, so ist also der
Viertel Note ein gr"o\3erer Raum zuzuordnen.
\par
{\hsize = 4cm
\parindent2\iindent\advance\hsize2\iindent
\beginsong\vio\C\meter3/4\v1\a1\a1\v1\|\endsong
\vskip -1cm
\beginsong\vio\C\meter3/4\v1\v1\a1\a1\|\endsong
}
\vskip -1cm
\item{}Dies ergibt in zweistimmiger
Notation\par
{\hsize = 5cm
\parindent2\iindent\advance\hsize2\iindent
\beginsong\vio\C\meter3/4\two{\v1}{\v1}\two{\a1\a1}{\v1}%
\two{\v1}{\a1\a1}\|\endsong}
\vskip -1cm
\item{}Es ist also in zweistimmigen Fall
mehr horizontaler Raum erforderlich,
 obwohl im normalen Satz der insgesamt
ben"otigte Raum im Einzelfall gleich ist.
\endBeispiel

\subheading{Vertikale Ausrichtung bei D.A. Gomberg}
Als einziger gibt       Gomberg (\lit{\gomb, S.70--78}) ein Verfahren
f"ur eine rhythmische (d.h. vertikale) Ausrichtung der Noten an. Dabei
werden sowohl unregelm"a\3ige Unterteilungen von Notenwerten (z.B.
Triolen) als auch das Einf"ugen von Hunks ber"ucksichtigt. Dieses
Verfahren ist kompliziert, jedoch anwendbar auf beliebig viele Stimmen
in mehreren Systemen. Dabei wird eine weitere (imagin"are ) Stimme ---
der sogenannte \disp{Spine} (R"uckgrat) --- konstruiert, die mit den
einzuf"ugenden Hunks versehen ist, nach der alle "ubrigen Stimmen
rhythmisch ausgerichtet werden k"onnen.

\subsubheading{Konstruktion des Spine}
F"ur Noten, die nicht unregelm"a\3ig unterteilt sind, wird der Spine wie
folgt iterativ konstruiert.
Zur Initialisierung wird eine Stimme als Spine ausgezeichnet. Dieser
Spine wird nun jeweils mit einer weiteren Stimme verglichen und nach
folgendem Verfahren ver"andert.
Sei $m$ die Anzahl der Noten des Spine und \folgi {\bar q}im die
Notenwerte dieser Noten, die im folgenden durch Br"uche
dargestellt seien, d.h. $\folgi {\bar q}im \in \qz^+$.
(Einer Viertel entspricht  demnach der Wert $\frac14$,
einer Viertel mit Wertpunkt $\frac38=\frac14+\frac18$.)
Seien die Notenwerte der zu vergleichenden
Stimme durch die Folge $\folgi qjn \in \qz^+$ gegeben.
Dann lautet der Algorithmus:
\item{I)}Initialisierung: $i:=1$, $j:=1$.
\item{II)}Gilt $\bar q_i =q_j$, erh"ohe $i$  und $j$.
\item{III)}Gilt $\bar q_i< q_j$, dann setze $q_j := q_j-\bar q_i$,
iteriere $i$ und fahre mit V) fort.
\item{IV)}Aufspaltung des Spine (\disp{splitting}): Gilt
  $\bar q_i> q_j$, dann ersetze $\bar q_i $ durch die beiden
Werte $Q_1=q_j$ und $Q_2=\bar q_i-q_j$,
wobei der neue Spine nun $m+1$
Elemente besitzt und das $i+1$-te Element gerade $Q_2$ ist.
%Iteriere also $i$ und $j$.
\item{V)} Gilt $j>n$ , dann HALT, sonst fahre mit II) fort.

Es ergibt sich hierbei die Frage, ob garantiert ist, da\3 der oben
beschriebene Proze\3 der Aufspaltung des Spine immer ``legale''
Notenwerte ergibt, d.h. Notenwerte, die durch eine Note unter
Zuhilfenahme von Wertpunkten dargestellt werden k"onnen.
Diese Frage ist jedoch zu verneinen: ``legale'' Notenwerte  sind
nicht abgeschlossen unter Subtraktion.

Gomberg f"uhrt dazu folgendes  Beispiel an:


\hbox to \hsize{%
  \hfil
  \vbox{%
   \hbox{%
    \hbox to 2cm{$\bar q:$\hfil}%
    \vtop{\hsize=50mm%
     \beginsong\vio\C
     \hbox to 19mm{\s1\.2\hfil}%
     \hbox to  4mm{\d1\hfil}%
     \hbox to 15mm{\v1\.1\hfil}%
     \endsong
    }%
   \hfil}%
   \vskip-10mm%
   \hbox{%
    \hbox to 2cm{$ q:$\hfil}%
    \vtop{\hsize=50mm%
     \beginsong\vio\C
     \hbox to  6mm{\z1\hfil}%
     \hbox to 28mm{\a1\.2\hfil}%
     \hbox to  4mm{\v1\hfil}%
     \endsong
    }%
   \hfil}%
   \vskip-10mm
   \hbox{%
    \hbox to 2cm{neues $\bar q:$\hfil}%
    \vtop{\hsize=50mm%
     \beginsong\vio\C
     \hbox to  6mm{\z1\hfil}%
     \hbox to 13mm{${\phantom{x}}^{\tenrm ?}$\hfil}%
     \hbox to  4mm{\d1\hfil}%
     \hbox to 11mm{\a1\hfil}%
     \hbox to  4mm{\v1\hfil}%
     \endsong
    }%
   \hfil}%
  }%
  \hfil
}%
\vskip -1cm


Sei die erste Zeile als Spine ausgezeichnet, dann ist $\bar q =
\frac7{64},\;\frac1{64},\;\frac{24}{64} $ und
$q=\frac2{64},\;\frac{14}{64},\;\frac14$. F"ur   den neuen Spine gilt
nun nach dem Algorithmus: $\bar q_1 = \frac1{32} $,
$\bar q_2=\frac{7}{64}-\frac2{64}=\frac5{64}$,
$\bar q_3=\frac1{32}$, $ \bar q_4=\frac18$ und
$\bar q_5=\frac14$.
Dabei ist $\bar q_2$ kein legaler Notenwert, denn dieser Notenwert l"a\3t
sich nur durch "Uberbindung einer Sechzehntel mit einer
Vierundsechzigstel darstellen. In diesem Fall wird diese Note
ausgeschlossen wie eine $\frac6{64}$, d.h. eine mit Wertpunkt versehene
Sechzehntel.

Anhand des Ausschlu\3schemas kann nun dem Spine der zugeh"orige
Ausschlu\3 zugeordnet und die Noten darunter angeordnet werden.

Zu bemerken ist, da\3 das oben geschilderte Verfahren
nat"urlich unabh"angig von der Reihenfolge der anzugleichenden Stimmen
ist.\vskip0.5cm
\subsubheading{Unregelm"a\3ige Unterteilungen}
Neben der zweiteiligen Untergliederung der Notenwerte
({\def\beamlist{\\{1-2,}}%
\universal\group{\\{\a0}\\{\a0}}{\\{0}\\{0}}\ubeam12\hskip-\nhh
\go\global\sk=0pt}%
\ ) gibt es
\vadjust{\kern-4pt}%
auch mehrteilige Untergliederungen, z.B. dreiteilige
({\staffheight 3\nhh\small\def\beamlist{\\{1-3,}}%
\group{\\{\a0}\\{\^{3}{\a0}}\\{\a0}}{\\{0}\\{0}\\{0}}\ubeam13\hskip-\nhh
\go}%
\global\sk=0pt\ ). Der
Notenwert einer solchen Triolen-Note entspricht also dem dritten Teil
der Dauer einer Viertel Note: $\frac1{12}$. Gekennzeichnet werden
\vadjust{\kern-4pt}%
unregelm"a\3ige Unterteilungen der Bezugsnote am Balken oder unter einer
Klammer: {\small\setbox2=\hbox{\v0\v0\global\sk0pt}%
\dimen1=\wd2\advance\dimen1 by-\nhh\setbox3\hbox to \dimen1{\vbox{\hrule
\offinterlineskip\hbox to \dimen1{\vrule depth-2pt width0.5pt\hss
\eightpoint 2\hss%
\vrule depth-2pt width0.5pt}}}\vbox{\offinterlineskip
\moveright\nhh\box3\box2}
}. (N"aheres dazu siehe \lit{\ziegen,{\bf 79}f{}f}.)

Die Unregelm"a\3igkeit wird auch durch einen etwas engeren Ausschlu\3
verdeutlicht. Der Raum, den eine Achtel Triole einnimmt, unterscheidet
sich also vom Raum, den drei Achtel Noten einnehmen.

Gomberg verwendet als Ausschlu\3 unregelm"a\3iger Unterteilungen das
n"achst kleinere Ausschlu\3schema, beispielsweise wird
 bei ``universellem'' Ausschlu\3 also
``enger'' Ausschlu\3 verwendet
(s. \adchap{-4}.1.1). M"ussen mehrere verschiedene
unregelm"a\3ige Unterteilungen  auf einem Notenwert des Spines
ausgeschlossen werden, so wird innerhalb einer solchen ``Nachbarschaft''
der kleinste Notenwert $\bar a$ ausgew"ahlt und diesem der zugeh"orige
Ausschlu\3 $A$ zugeordnet. F"ur die anderen Notenwerte $\bar a_i$ ergibt
sich dann der Raum, der diesem Notenwert zugeordnet wird, aus der Formel:
$  \Frac A{\bar a}*\bar a_i$.
\subheading{Ausf"uhrung des zweistimmigen Setzens}
Die obige von
 D. A. Gomberg vorgeschlagene Vorgehensweise
ist naheliegend
und scheint eine gute M"oglichkeit zu sein, beliebige mehrstimmige
Partituren korrekt zu setzen. Abgesehen von dem Problem, zu den
eingegebenen Noten den passenden Spine zu konstruieren, ergibt sich
jedoch bei der Verwirklichung mit \TeX\ ein weiteres Problem, das die
Anwendung des Algorithmus erschwert.
Mit einem gegebenen Spine k"onnten die einzelnen Noten der Stimmen mit
einigem Aufwand in einer Tabelle plaziert werden. Um den Zeilenumbruch
zu erm"oglichen, m"u\3te also f"ur jedes Spinelement eine Tabelle
angelegt werden, da innerhalb einer gro\3en umfassenden Tabelle kein
Zeilenumbruch m"oglich ist. Dies w"urde zun"achst den variablen Glue
\disp{fest}legen; ein korrekter Ausschlu\3 w"are damit nicht mehr
gew"ahrleistet. Au\3erdem ist eine Verbalkung und eine Plazierung der
Bogen nicht mehr m"oglich, da die Listenverarbeitung in der
vorgestellten Art nicht mehr durchf"uhrbar ist.

Aus  diesen Gr"unden wurde zun"achst nur eine M"oglichkeit
bereitgestellt, einfachere zweistimmige Notenkonstellationen in einem
Zeilensystem, die ohne Spine auskommen, zu setzen. Beispiele sind schon
an einigen Stellen dieser Arbeit demonstriert worden.
Ein mehrstimmiges Setzen von ganzen Nachbarschaften, die nur mit Hilfe
eines Spines gesetzt werden k"onnen, ist noch nicht gegeben. Ohne
zus"atzliches manuelles Eingreifen, d.h. Einf"ugen von weiterem
Ausschlu\3material, erscheinen z.B. die
unten aufgef"uhrten Einzelstimmen
zweistimmig inkorrekt gesetzt:

{\hsize=8cm
\parindent2\iindent\advance\hsize2\iindent
\beginsong\vio\C
\group{\\{\s7}\\{\s8}\\{\s7}\\{\s9}}{\\{7}\\{8}\\{7}\\{9}}%
\def\beamlist{\\{1-\the\N,}%
\\{1-\the\N,}}\ubeam14\go\hskip20pt
\def\beamlist{\\{1-\the\N,}}%
\group{\\{\a3}\\{\a3}}{\\{3}\\{3}}\lbeam12\go\hskip40pt
\two{\group{\\{\s7}\\{\s8}\\{\s7}\\{\s9}}{\\{7}\\{8}\\{7}\\{9}}%
\def\beamlist{\\{1-\the\N,}%
\\{1-\the\N,}}\ubeam14\go}{%
\def\beamlist{\\{1-\the\N,}}%
\group{\\{\a3}\\{\a3}}{\\{3}\\{3}}\lbeam12\go} \hfill\endsong
}\vskip -1cm
Im Anhang A wurde ein Beispiel eingef"ugt, das zeigt, da\3 das
angegebene Verfahren f"ur viele Musikst"ucke gut anwendbar ist.

Das zweistimmige Setzen erfolgt  nach folgendem Verfahren. Beide
Stimmen werden einzeln wie im einstimmigen Satz unter Ber"ucksichtigung
der Notationsregeln ausgeschlossen. Dann werden die Stimmen linksb"undig
ineinander geschoben. Dabei wird als neuer \verbatimon |\spaceskip| der
aktuelle |\spaceskip| der Stimme gew"ahlt, die mehr horizontalen Raum
erfordert. Zu beachten ist, da\3 eventuelle Versetzungszeichen vor der
Notengruppe wie Vorzeichenakkorde  gesetzt werden.
\Beispiel
\par\noindent\vbox{\hsize=8cm
\loose
\parindent2\iindent\advance\hsize2\iindent
\beginsong\vio\C
\group{\\{{\tr\a2}}\\{\x1\s1}\\{\s0}}
{\\{2}\\{1}\\{0}}\def\beamlist{\\{1-3,}\\{2-3,}}%
\ubeam13\lslur23\go
\def\beamlist{\\{1-7,}\\{-2,3-7,}\\{6-7,}}
\x{-5}\n{-1}\two{\group{\\{\s{-1}}\\{\n1\z1}\\{\z0}\\{\z{-1}}%
\\{\z{-2}}\\{\d{-1}}\\{\d{-3}}}
{\\{-1}\\{1}\\{0}\\{-1}\\{-2}\\{-1}\\{-3}}\ubeam17\lslur27\go}{\a{-5}}\|%
\endsong}
\vskip -1cm
\endBeispiel
Unregelm"a\3ige Unterteilungen wurden bisher noch nicht ber"ucksichtigt,
da zum korrekten Setzen ein weiterer Zeichensatz f"ur die Klammerung
eingef"uhrt werden mu\3. Das Setzen von Notengruppen dieser Art ergibt
im einstimmigen Satz jedoch keine weiteren satztechnischen Probleme.
\par

\vfill\eject
