菊池パターンのバンドエッジを表す式
[English / Japanese]

原点をプロジェクションセンターとし、蛍光板がz=1の平面内にくるように、長さの単位を設定する。 以下のベクトルを用いて式を導出する:

- ${\mathbf z} = (0, 0, 1)^T$,
- 逆格子ベクトル ${\mathbf a}^*$,
- ${\mathbf u} = {\mathbf a}^* / | {\mathbf a}^* |$.

バンドセンターは、 回折面に対応する平面${\mathbf a}^* \cdot {\mathbf x} = 0$と 蛍光板${\mathbf z} \cdot {\mathbf x} = 1$の交わりになる。 ブラッグの式$2 d \sin \theta = n \lambda$により、 ブラッグ角$\theta$は 格子面間隔$d = 1/|{\mathbf a}^* |$と関係づけられる。

以下の図のKossel coneに含まれる座標 ${\mathbf x}$は、 その${\mathbf a}^*$方向への射影$({\mathbf x} \cdot {\mathbf u}) {\mathbf u}$とその鉛直方向への射影 ${\mathbf x} - ({\mathbf x} \cdot {\mathbf u}) {\mathbf u}$を考えたとき、右の等式が成立する。

| $$ \frac{ | ({\mathbf u} \cdot {\mathbf x}) {\mathbf u} |^2 }{ | {\mathbf x} - ({\mathbf u} \cdot {\mathbf x}) {\mathbf u} |^2 } = \tan^2 \theta. $$
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したがって、Kossel coneは以下で定義される円錐面になる: $$ ({\mathbf u} \cdot {\mathbf x})^2 = | {\mathbf x} |^2 \sin^2 \theta. $$ バンドエッジはこのKossel coneと平面${\mathbf z} \cdot {\mathbf x} = 1$の交わりになる。 簡単のため、蛍光板の座標軸を回転して、${\mathbf u} = (-\cos \sigma, 0, \sin \sigma)$としておく。 ${\mathbf u} \cdot {\mathbf x} = 0$より、バンドセンターの方程式は以下に等しい。 $$ x = \tan \sigma. $$ バンドエッジの方程式は、 $$ (-x \cos \sigma + \sin \sigma)^2 = (x^2 + y^2 + 1) \sin^2 \theta. $$ すなわち、以下の双曲線になる。 $$ (\cos^2 \sigma-\sin^2 \theta) \left( x - \frac{ \cos \sigma \sin \sigma }{\cos^2 \sigma-\sin^2 \theta} \right)^2 - (\sin^2 \theta) y^2 = \frac{ \cos^2 \theta \sin^2 \theta }{\cos^2 \sigma-\sin^2 \theta}. $$ さらに整理すると、 $$ \left( \frac{\cos 2 \sigma + \cos 2 \theta}{ \sin 2 \theta } \right)^2 \left( x - \frac{ \sin 2 \sigma }{ \cos 2 \sigma + \cos 2 \theta } \right)^2 - \frac{ \cos 2 \sigma + \cos 2 \theta }{ 2 \cos^2 \theta } y^2 = 1. $$ 今、$\cos 2 \sigma + \cos 2 \theta = \cos 2 \sigma + \cos 2 \theta > 0$は仮定してよい。 バンドエッジと$x$軸の、2つの交点の距離$\sigma_{begin}, \sigma_{end}$がバンド幅に該当する。 さらに以下が成立する。 \begin{eqnarray*} \tan \sigma_{begin} &=& \frac{ \sin 2\sigma - \sin 2 \theta }{ \cos 2 \sigma + \cos 2 \theta } = \frac{ (e^{i(\sigma + \theta)} + e^{-i(\sigma + \theta)})(e^{i(\sigma - \theta)} - e^{-i(\sigma - \theta)}) } { i (e^{i(\sigma + \theta)} + e^{-i(\sigma + \theta)})(e^{i(\sigma - \theta)} + e^{-i(\sigma - \theta)}) } = \tan (\sigma - \theta), \\ \tan \sigma_{end} &=& \frac{ \sin 2\sigma + \sin 2 \theta }{ \cos 2 \sigma + \cos 2 \theta } = \frac{ (e^{i(\sigma + \theta)} - e^{-i(\sigma + \theta)})(e^{i(\sigma - \theta)} + e^{-i(\sigma - \theta)}) } { i (e^{i(\sigma + \theta)} + e^{-i(\sigma + \theta)})(e^{i(\sigma - \theta)} + e^{-i(\sigma - \theta)}) } = \tan (\sigma + \theta). \end{eqnarray*} したがって、$\sigma_{begin} = \sigma - \theta$, $\sigma_{end} = \sigma + \theta$が得られる。 [Back to top] [Go to the page of the EBSD ab-initio indexing software] [Go to my research page (list of software)]